Успешно сдано наших работ

80663

средняя оценка

4,82
 

8-800-5556499 Звонок бесплатный для России +7 (495) 137-59-73 (городской)

ОН-ЛАЙН КОНСУЛЬТАНТ


10 ноября 2013

Обобщенный закон Гука.

Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы.

Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями

clip_image002, clip_image004 (4.12)

Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14).

clip_image001Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.

Рис.4.14

Применяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряжения s1 можно записать clip_image003, где clip_image005, clip_image007, clip_image009 — относительные удлинения в

clip_image010

направлении s1, вызванные соответственно действием только

Рис. 4.15

напряжениями s1, s2, s3.

Поскольку clip_image005[1] является для напряжения s1 продольной деформацией, а clip_image007[1], clip_image009[1] — поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует:

clip_image013, clip_image015, clip_image017. (4.13)

Складывая эти величины, получим clip_image019.

Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате

clip_image021

clip_image023 (4.14)

clip_image025.

Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния. Например, clip_image027:

clip_image029

clip_image031

clip_image033

Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям.

При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем

исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси х будет обусловлено напряжением σх и равно clip_image035. Напряжениям clip_image037 в этом направлении будут соответствовать удлинения clip_image039 и clip_image041.По аналогии получим такие же выражения для clip_image043 и clip_image045.

Таким образом,

clip_image047

clip_image049 (4.15)

clip_image051.

Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями

clip_image053 clip_image055 clip_image057 (4.16)

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называется деформированным состоянием в точке.

Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда clip_image059 в результате деформации меняются и становятся равными clip_image061. Абсолютное приращение объёма определится разностью

clip_image063clip_image065clip_image067.

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим clip_image063[1]clip_image069.

Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения

еclip_image071clip_image073.

Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим

eclip_image075 (4.17)

Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.

Если испытываете трудности в написании курсовой работы по сопротивлению материалов, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы. Цена — от 99 рублей.



Заказать работу

 
 
 
 
26.12.2018

Уточнить задание

Поля помеченные   обязательны для заполнения

Комментарии:

comments powered by Disqus